linear-algebraসহজ⏱ 8 মিনিট

Vector — দিক আছে, মান আছে

Vector

🛺

কামালের CNG-র গল্প

ধর ভাই, তুই মিরপুর-১০ থেকে ফার্মগেটে যাইবি CNG-তে। ড্রাইভার কামাল ভাই জিজ্ঞেস করল 'কই যাইবেন?' তুই বললি 'ফার্মগেট।' শুধু '৫ কিলোমিটার' বলসি না — দিকটাও বলসি! কারণ ৫ কিলোমিটার তো যেকোনো দিকে যাইতে পারো — উত্তানে গেলে তো বনানী চইলা যাইবি, দক্ষিণে গেলে ধানমন্ডি। কামাল ভাইরে শুধু দূরত্ব বললে হইব না, দিকটাও লাগবে!

এইটাই হইল Vector, মামা! মান (magnitude) আছে — কত দূর, আর দিক (direction) আছে — কোনদিকে। Scalar-এর সাথে পার্থক্যটা হইল direction। বুঝলা?

সংজ্ঞা

Vector হইল ordered list of numbers যেইটার মান (magnitude) এবং দিক (direction) দুইটাই আছে। n-dimensional space-এ n-টা component থাকে।

n-dimensional vector — n-টা সংখ্যার ordered list

\[\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n\]

ব্যাখ্যা

Vector কী জিনিস?

Scalar হইল একটা সংখ্যা। কিন্তু Vector হইল একগাদা সংখ্যা সাজানো — ordered list। প্রতিটা সংখ্যারে component বলে। ধর তোর CNG GPS coordinate (23.8, 90.4) — এইটা একটা 2D vector। দুইটা component: latitude আর longitude।

\[\vec{position} = \begin{bmatrix} 23.8 \\ 90.4 \end{bmatrix}\]

Vector-এর Dimension

কয়টা component আছে সেইটাই dimension। 2D vector-এ ২টা number, 3D-তে ৩টা, আর ML-এ? ভাই, হাজার হাজার dimension থাকতে পারে! GPT-এর word embedding-এ ১২২৮৮টা dimension আছে। মাথা খারাপ না?

\[\vec{v} \in \mathbb{R}^2, \quad \vec{w} \in \mathbb{R}^{12288}\]

Vector Notation

Vector লেখার কয়েকটা style আছে — তীরচিহ্ন দিয়া v⃗, bold করে v, বা bracket-এ [v₁, v₂]। ML-এ সাধারণত column vector হিসাবে লেখা হয়। Row vector হইলে transpose চিহ্ন লাগে।

\[\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \vec{v}^T = \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix}\]

CNG-র Route Vector

কামালের CNG মিরপুর-১০ (0, 0) থেকে ফার্মগেট (3, 4)-তে গেল। Route-র vector বাইর কর এবং magnitude (দূরত্ব) হিসাব কর।

Step 1: Vector বানাও

Start point (0,0) আর end point (3,4) থেকে vector পাই

\[\vec{d} = \begin{bmatrix} 3 - 0 \\ 4 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\]

Step 2: Magnitude বাইর কর

Pythagorean theorem — x² + y² এর root

\[\|\vec{d}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Step 3: মানে কী দাঁড়াল?

CNG পূর্বে ৩ unit আর উত্তরে ৪ unit গেছে, মোট সরলরেখায় দূরত্ব ৫ unit।

উত্তর:

Route vector হইল [3, 4] আর সরলরেখায় দূরত্ব ৫ unit — ঠিক 3-4-5 right triangle, মামা!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Vector = CNG-র route — শুধু কত দূর (magnitude) না, কোনদিকে (direction) সেইটাও লাগে। Scalar-এ শুধু টাকা, Vector-এ টাকা + কারে দিবি!

#vector#direction#magnitude#feature-vector#embedding#dimension