linear-algebraসহজ⏱ 10 মিনিট

Matrix — সংখ্যার সাজানো বাগান

Matrix

🏫

মতিঝিল আইডিয়াল স্কুলের ক্লাস সিটিং

ধর তুই মতিঝিল আইডিয়াল স্কুলের ক্লাস টিচার। তোর ক্লাসে ৩ সারিতে ৪ জন কইরা ছাত্র বসে। তুই attendance নিতে গিয়া একটা Excel sheet খুললি — ৩টা row, ৪টা column। প্রতিটা cell-এ ছাত্রের roll number। সারি ধইরা পড়লে একটা row পাবি, কলাম ধইরা পড়লে একটা column। পুরা sheet-টাই একটা Matrix! এখন হেডমাস্টার বললেন 'প্রতিটা ছাত্রের ৫ বিষয়ের নম্বর দাও।' তুই ৩০ জন ছাত্রের ৫ বিষয়ের নম্বর সাজাইলি — ৩০×৫ ম্যাট্রিক্স! Excel-এর প্রতিটা sheet-ই আসলে একটা matrix, মামা।

এইটাই হইল Matrix — সংখ্যাগুলা row আর column-এ সাজানো! Excel sheet-এর মতো — m টা row, n টা column, ব্যস!

সংজ্ঞা

Matrix হইল সংখ্যাগুলারে rectangular grid-এ সাজানো — m টা row আর n টা column-এ। এইটারে m×n matrix বলে। প্রতিটা element-এর address হইল (row, column) — ঠিক Excel cell-এর মতো A1, B2।

m×n Matrix — m rows, n columns

\[A_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]

ব্যাখ্যা

Matrix-এর Dimension বোঝা

Matrix-এর size বলার নিয়ম হইল 'row × column'। ৩ সারি ৪ কলাম হইলে বলবা 3×4 matrix। মনে রাখবা — আগে row (নিচে যাও), পরে column (পাশে যাও)। মতিঝিল স্কুলের ক্লাসে ৩ সারি ৪ জন = 3×4। মোট element = 3 × 4 = 12 টা।

\[A_{3 \times 4} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{bmatrix}\]

Element Access — নির্দিষ্ট জায়গার সংখ্যা

Matrix-এর কোনো element বোঝাতে দুইটা index লাগে — row number আর column number। a_{2,3} মানে ২য় row-এর ৩য় column-এর element। Python-এ index ০ থেকে শুরু, কিন্তু math-এ ১ থেকে। Excel-এ যেমন B3 মানে ৩য় row, ২য় column — same concept!

\[a_{ij} = \text{element at row } i, \text{ column } j\]

Special Matrices — বিশেষ ম্যাট্রিক্স

কিছু matrix-এর special নাম আছে। Row vector (1×n) — একটা row-ই matrix। Column vector (m×1) — একটা column-ই matrix। Square matrix (n×n) — row আর column সমান। Zero matrix — সব element ০। ML-এ এই সবগুলাই কাজে আসে।

\[\text{Row: } \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \text{Column: } \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \text{Square: } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]

Dataset-কে Matrix হিসেবে দেখা

৩ জন ছাত্রের ৪ বিষয়ের নম্বর আছে — রহিম: [৮০, ৭৫, ৯০, ৮৫], করিম: [৭০, ৮৫, ৬৫, ৯০], জামাল: [৯৫, ৮০, ৮৮, ৭২]। এইটারে matrix হিসেবে লেখ এবং dimension বল। করিমের ৩য় বিষয়ের নম্বর কত?

Step 1: Matrix বানাও

প্রতিটা ছাত্র = ১ row, প্রতিটা বিষয় = ১ column

\[A = \begin{bmatrix} 80 & 75 & 90 & 85 \\ 70 & 85 & 65 & 90 \\ 95 & 80 & 88 & 72 \end{bmatrix}\]

Step 2: Dimension বল

৩ জন ছাত্র (rows) × ৪ বিষয় (columns) = 3×4 matrix

\[A \in \mathbb{R}^{3 \times 4}\]

Step 3: নির্দিষ্ট element বের কর

করিম = ২য় row, ৩য় বিষয় = ৩য় column, তাইলে a_{2,3}

\[a_{2,3} = 65\]

উত্তর:

3×4 matrix! করিমের ৩য় বিষয়ের নম্বর = 65। ML dataset-ও ঠিক এইভাবেই matrix — প্রতিটা row একটা sample, প্রতিটা column একটা feature!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Matrix = Excel Sheet! Row = সারি (নিচে যাও), Column = কলাম (পাশে যাও)। m×n মানে m সারি n কলাম। Dataset-এর প্রতিটা row = ১ জন, প্রতিটা column = ১ feature!

#matrix#dimension#rows#columns#dataset#image#2d-array

আগের চ্যাপ্টার

vector operations

পরের চ্যাপ্টার

matrix multiplication