linear-algebraমাঝারি⏱ 14 মিনিট

Matrix Multiplication — ম্যাট্রিক্স গুণ

Matrix Multiplication

🏭

গাজীপুরের গার্মেন্টস ফ্যাক্টরি

ধর তোর বন্ধু সাকিব গাজীপুরে গার্মেন্টস ফ্যাক্টরি চালায়। সে ৩ ধরনের জামা বানায় — টি-শার্ট, পোলো, শার্ট। প্রতিটা জামায় কাপড়, বোতাম, সুতা লাগে — এইটা একটা matrix। আবার কাপড়, বোতাম, সুতার দাম আরেকটা matrix। এখন সাকিব হিসাব করতে চায় প্রতিটা জামার total production cost কত। প্রথম matrix-এর row (জামার raw material) আর দ্বিতীয় matrix-এর column (material-এর দাম) গুণ কইরা যোগ করলেই পাইবা! টি-শার্টের cost = কাপড়ের পরিমাণ × কাপড়ের দাম + বোতামের সংখ্যা × বোতামের দাম + সুতার পরিমাণ × সুতার দাম। এই row-column গুণ আর যোগই হইল matrix multiplication!

এইটাই Matrix Multiplication — একটার row আরেকটার column-এর সাথে dot product! গার্মেন্টসের cost calculation-এর মতো — গুণ কর আর যোগ কর!

সংজ্ঞা

Matrix Multiplication হইল দুইটা matrix-কে গুণ করা। A (m×n) matrix আর B (n×p) matrix গুণ করলে C (m×p) matrix পাবা। নিয়ম হইল — A-এর row আর B-এর column-এর dot product নাও। শর্ত: A-এর column সংখ্যা = B-এর row সংখ্যা হইতে হইব।

C = A × B, যেখানে A ∈ ℝᵐˣⁿ, B ∈ ℝⁿˣᵖ, C ∈ ℝᵐˣᵖ

\[C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj}\]

ব্যাখ্যা

Dimension Rule — কখন গুণ করা যায়

দুইটা matrix গুণ করতে হইলে A-এর column সংখ্যা আর B-এর row সংখ্যা SAME হইতে হইব। (m×n) × (n×p) = (m×p)। ভিতরের দুইটা n match করতে হইব, result-এর dimension হইব বাইরের দুইটা m×p। সাকিবের ফ্যাক্টরিতে — ৩ জামা × ৩ material-এর matrix গুণ ৩ material × ১ দাম-এর matrix = ৩ জামা × ১ cost!

\[(m \times \underbrace{n)}_{\text{match!}} \times (\underbrace{n}_{\text{match!}} \times p) = (m \times p)\]

Row-Column Dot Product — গুণ কর যোগ কর

Result matrix-এর প্রতিটা element বের করতে — A-এর i-th row নাও আর B-এর j-th column নাও, দুইটার dot product কর (corresponding elements গুণ করে সব যোগ কর)। টি-শার্টের cost বের করতে টি-শার্টের material list (row) আর material price list (column) dot product করা হইল।

\[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 & 2 \cdot 6 + 3 \cdot 8 \\ 1 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 31 & 36 \\ 33 & 38 \end{bmatrix}\]

Not Commutative — A×B ≠ B×A

Matrix multiplication-এ order matters! A×B আর B×A generally same না — এমনকি dimension-এর কারণে একটা possible হইলেও আরেকটা impossible হইতে পারে। (2×3) × (3×4) possible, কিন্তু (3×4) × (2×3) impossible! সাকিবের ফ্যাক্টরিতে জামা×দাম আর দাম×জামা same জিনিস না।

সাকিবের গার্মেন্টস Production Cost

সাকিবের ৩ ধরনের জামায় raw material লাগে (কাপড় মিটার, বোতাম সংখ্যা): টি-শার্ট [2, 0], পোলো [2.5, 3], শার্ট [3, 5]। কাপড়ের দাম ১৫০ টাকা/মিটার, বোতাম ১০ টাকা/টা। প্রতিটা জামার cost বের কর।

Step 1: Material Matrix (A) বানাও

৩টা জামা × ২টা material = 3×2 matrix

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2.5 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\]

Step 2: Price Matrix (B) বানাও

২টা material × ১টা price = 2×1 matrix (column vector)

\[B = \begin{bmatrix} 150 \\ 10 \end{bmatrix}\]

Step 3: Dimension Check

A হইল 3×2, B হইল 2×1। ভিতরে ২=২ match করতেছে, result হইব 3×1

\[(3 \times \mathbf{2}) \times (\mathbf{2} \times 1) = (3 \times 1) \quad \checkmark\]

Step 4: গুণ কর

প্রতিটা row-এর সাথে column dot product

\[C = A \times B = \begin{bmatrix} 2 \times 150 + 0 \times 10 \\ 2.5 \times 150 + 3 \times 10 \\ 3 \times 150 + 5 \times 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 300 \\ 405 \\ 500 \end{bmatrix}\]

উত্তর:

টি-শার্ট ৩০০ টাকা, পোলো ৪০৫ টাকা, শার্ট ৫০০ টাকা! Matrix multiplication দিয়া একবারেই সব cost বের!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Matrix Multiplication = গার্মেন্টসের cost calculation! Row × Column = গুণ কর যোগ কর। Dimension rule: ভিতরেরটা match করতে হইব, বাইরেরটাই result। (m×n)×(n×p) = m×p!

#matrix-multiplication#dot-product#forward-pass#neural-network#attention#transformation