linear-algebraসহজ⏱ 9 মিনিট

Vector Norm — ভেক্টরের মাপ

Vector Norm

🗺️

রিকশাওয়ালা জব্বারের রাস্তা

ধর মামা, রিকশাওয়ালা জব্বার পুরান ঢাকা থেকে গুলিস্তান যাইব। দুইটা রাস্তা আছে। এক নম্বর — সোজা রাস্তায় যা, গলি দিয়া কাটাকাটি কর, পূর্বে ৩ কিলো আর উত্তরে ৪ কিলো — মোট ৩+৪ = ৭ কিলো হাঁটা। দুই নম্বর — সোজা তীর মাইরা যা, ঠিক কোণাকুণি — √(৩²+৪²) = ৫ কিলো। এক রাস্তায় ৭ কিলো, আরেক রাস্তায় ৫ কিলো — কিন্তু জায়গা একই!

প্রথম রাস্তা (৩+৪=৭) হইল L1 Norm — সব component যোগ করো। দ্বিতীয় রাস্তা (√(৯+১৬)=৫) হইল L2 Norm — Pythagorean theorem। দুইটাই vector-এর 'মাপ' কিন্তু ভিন্ন ভাবে! বুঝলা?

সংজ্ঞা

Vector Norm হইল vector-এর 'size' বা 'length' মাপার পদ্ধতি। বিভিন্ন norm বিভিন্নভাবে মাপে — L1 সব component-এর absolute value যোগ করে, L2 Euclidean distance দেয়।

L1 Norm (Manhattan) এবং L2 Norm (Euclidean)

\[\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |v_i|, \quad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}\]

ব্যাখ্যা

L1 Norm — Manhattan Distance

L1 Norm-এ সব component-এর absolute value যোগ করো। নাম Manhattan কারণ New York-এর block ধইরা হাঁটলে যেমন সোজা-বাঁক-সোজা যাইতে হয়, ঠিক তেমন। পুরান ঢাকার গলি দিয়া যাওয়ার মতো — পূর্বে যাও, তারপর উত্তরে।

\[\|\vec{v}\|_1 = |v_1| + |v_2| + \cdots + |v_n|\]

L2 Norm — Euclidean Distance

L2 Norm হইল 'সোজা লাইনে' দূরত্ব — পাখি যেমন উড়ে সোজা যায়। Pythagorean theorem-এর extension। ML-এ সবচেয়ে বেশি ব্যবহার হয় কারণ এইটা smooth — gradient compute করা সহজ।

\[\|\vec{v}\|_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\]

L∞ Norm — Max Norm

L∞ Norm আরো সোজা — সবচেয়ে বড় component-টা নাও, ব্যস! ধর vector [3, -7, 2] হইলে L∞ = 7। এইটা adversarial ML-এ দেখবি — attacker কোনো একটা feature-কে কতটুকু বদলাইতে পারবে সেইটা bound করতে।

\[\|\vec{v}\|_\infty = \max(|v_1|, |v_2|, \ldots, |v_n|)\]

জব্বারের রাস্তার Norm হিসাব

জব্বার পূর্বে ৩ কিলো আর উত্তরে ৪ কিলো যাইব। Vector v = [3, 4]। L1, L2, আর L∞ Norm বাইর কর।

Step 1: L1 Norm (গলি পথ)

সব component-এর absolute value যোগ করো

\[\|\vec{v}\|_1 = |3| + |4| = 7 \text{ km}\]

Step 2: L2 Norm (সোজা পথ)

Square করো, যোগ করো, root নাও

\[\|\vec{v}\|_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ km}\]

Step 3: L∞ Norm (সবচেয়ে বড়)

সবচেয়ে বড় component নাও

\[\|\vec{v}\|_\infty = \max(|3|, |4|) = 4 \text{ km}\]

উত্তর:

L1 = ৭ কিলো (গলি পথ), L2 = ৫ কিলো (সোজা পথ), L∞ = ৪ কিলো (সবচেয়ে বড় component)। তিন নর্মে তিন উত্তর — কিন্তু সবাই vector-এর size-ই মাপতেছে!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Norm = মাপের ফিতা। L1 = রিকশার গলি পথ (ব্লক ধইরা), L2 = পাখির সোজা উড়ান, L∞ = সবচেয়ে লম্বা ডেগ। ML-এ L1 কাটছাট করে, L2 শান্ত রাখে!

#norm#L1#L2#manhattan#euclidean#regularization#distance