linear-algebraমাঝারি⏱ 12 মিনিট

Identity ও Inverse Matrix — পরিচয় ও উল্টো

Identity and Inverse Matrix

🔑

ফারুকের Ctrl+Z আর পাসওয়ার্ড

ধর তোর বন্ধু ফারুক মতিঝিলে একটা অফিসে কাজ করে। একদিন সে Excel-এ বিশাল একটা হিসাব করতে গিয়া ভুল কইরা ফেলল — সব data গায়েব! ফারুক চিৎকার দিল 'Ctrl+Z! Ctrl+Z!' আর সব আগের মতো ফিরা আসল। এই Ctrl+Z = Inverse operation! আসল কাজ × উল্টো কাজ = কিছুই হয় নাই (Identity)। এবার ধর ফারুকের ফোনে পাসওয়ার্ড আছে। পাসওয়ার্ড দিলে ফোন unlock হয় — মানে পাসওয়ার্ড হইল encryption-এর inverse। Lock × Unlock = ফোন যেমন ছিল তেমনই (Identity)। আবার ধর ফারুক কিছুই করে নাই — শুধু বইসা আছে। এইটা হইল Identity — ১ দিয়া গুণ করলে সংখ্যা যেমন থাকে তেমনই, Identity matrix দিয়া গুণ করলে matrix-ও তেমনই থাকে!

Identity Matrix = কিছু করি নাই! Inverse Matrix = Ctrl+Z — undo button! A × A⁻¹ = I (Identity)!

সংজ্ঞা

Identity Matrix (I) হইল এমন square matrix যেইটা দিয়া গুণ করলে কোনো পরিবর্তন হয় না — AI = IA = A। এইটার diagonal-এ সব ১, বাকি সব ০। Inverse Matrix (A⁻¹) হইল এমন matrix যেইটা দিয়া A-কে গুণ করলে Identity পাবা — AA⁻¹ = A⁻¹A = I। শুধু square matrix-এর inverse থাকতে পারে, আর সবার থাকেও না।

Identity Matrix I আর Inverse: AA⁻¹ = I

\[I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}, \quad A A^{-1} = A^{-1} A = I\]

ব্যাখ্যা

Identity Matrix — সংখ্যায় ১ এর মতো

সাধারণ সংখ্যায় ১ দিয়া গুণ করলে সংখ্যা same থাকে: 5 × 1 = 5। Matrix-এর জগতে Identity matrix I ঠিক সেই কাজ করে: AI = IA = A। কোনো matrix-কে I দিয়া গুণ করলে সেই matrix-ই আসে। I-এর main diagonal-এ (উপরে-বাম থেকে নিচে-ডান) সব ১, বাকি সব ০। 2×2 identity = [[1,0],[0,1]], 3×3 identity = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]।

\[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\]

Inverse Matrix — Ctrl+Z

সাধারণ সংখ্যায় ৫ এর inverse হইল ১/৫, কারণ ৫ × ১/৫ = ১। Matrix-এও একই concept: A × A⁻¹ = I। কিন্তু matrix-এ 'ভাগ' বইলা কিছু নাই — inverse দিয়া গুণ করতে হয়। সবার inverse থাকে না — determinant ০ হইলে inverse নাই (singular matrix)। যেমন সব row same হইলে, বা একটা row আরেকটার গুণিতক হইলে।

\[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \quad \text{for } A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

Inverse-এর Properties

কিছু গুরুত্বপূর্ণ properties: (1) (A⁻¹)⁻¹ = A — inverse-এর inverse = আসল। Ctrl+Z-এর Ctrl+Z = আসল কাজ! (2) (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — গুণের inverse-এ order উলটা যায়। জুতা আগে পরো তারপর মোজা — খুলতে হইলে আগে মোজা তারপর জুতা! (3) (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ — transpose আর inverse-এর order বদলানো যায়।

\[(A^{-1})^{-1} = A, \quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \quad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\]

2×2 Matrix-এর Inverse বের করা

A = [[4, 7], [2, 6]] matrix-এর inverse বের কর এবং verify কর যে AA⁻¹ = I।

Step 1: Determinant বের কর

2×2 matrix-এ det = ad - bc

\[\det(A) = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10 \neq 0 \quad \checkmark\]

Step 2: Inverse formula apply কর

d আর a swap কর, b আর c-তে minus দাও, 1/det দিয়া গুণ কর

\[A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}\]

Step 3: Verify — AA⁻¹ = I?

A আর A⁻¹ গুণ কইরা দেখ Identity আসে কিনা

\[AA^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \checkmark\]

উত্তর:

A⁻¹ = [[0.6, -0.7], [-0.2, 0.4]] এবং AA⁻¹ = I confirm হইল! Ctrl+Z কাজ করতেছে!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Identity = কিছু করি নাই (I × A = A), Inverse = Ctrl+Z (A × A⁻¹ = I)! জুতা-মোজা rule: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — পরার উল্টো ক্রমে খোলো!

#identity-matrix#inverse-matrix#linear-systems#normal-equation#pseudo-inverse#initialization