linear-algebraসহজ⏱ 9 মিনিট

Matrix Transpose — ম্যাট্রিক্স উলটানো

Matrix Transpose

🪞

নিউমার্কেটের আয়নার দোকান

ধর তুই নিউমার্কেটে আয়নার দোকানে গেছস। দোকানদার একটা আয়না ধরল তোর সামনে — তুই দেখলি তোর ডান হাত আয়নায় বাম হাতে গেছে! এবার ধর তোর কাছে একটা Excel sheet আছে — ৩ জন ছাত্রের ৪ বিষয়ের নম্বর, 3×4 matrix। তুই যদি এই sheet-টারে 'আয়নায় দেখাস' — মানে row গুলারে column বানাস আর column গুলারে row — তাইলে পাবি 4×3 matrix! ছাত্র ভিত্তিক data বিষয় ভিত্তিক হইয়া যাইব। রহিমের সব নম্বর যেইটা আগে row ছিল, এখন column হইয়া গেছে। এইটাই Transpose — diagonal বরাবর flip!

এইটাই Matrix Transpose — row আর column swap! আয়নার মতো diagonal বরাবর উলটাও। A-এর transpose = Aᵀ। (m×n) → (n×m)!

সংজ্ঞা

Matrix Transpose হইল একটা matrix-এর row আর column swap করা। A matrix-এর transpose Aᵀ-তে element a_{ij} চইলা যায় position a_{ji}-তে। মানে ১ম row হইয়া যায় ১ম column, ২য় row হইয়া যায় ২য় column। (m×n) matrix-এর transpose হইব (n×m)।

Transpose: row i, column j → row j, column i

\[(A^T)_{ij} = A_{ji}\]

ব্যাখ্যা

Transpose কিভাবে কাজ করে

Matrix-এর diagonal (উপরে-বামে থেকে নিচে-ডানে) বরাবর flip কর। ১ম row পুরাটা ১ম column হইয়া যাইব, ২য় row ২য় column হইব। মনে রাখ — diagonal-এর element গুলা জায়গায়ই থাকে (কারণ a_{ii} = a_{ii})। বাকি সবগুলা diagonal-এর 'আয়নায়' চইলা যায়।

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \implies A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\]

Transpose-এর Properties

কিছু মজার properties আছে: (1) দুইবার transpose করলে আসলে ফিরা আসে — (Aᵀ)ᵀ = A। আয়নায় আয়না দেখালে আসল দেখা যায়! (2) (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ — যোগের transpose = transpose-এর যোগ। (3) (AB)ᵀ = BᵀAᵀ — গুণের transpose-এ order উলটা যায়! এইটা গুরুত্বপূর্ণ।

\[(A^T)^T = A, \quad (A + B)^T = A^T + B^T, \quad (AB)^T = B^T A^T\]

Symmetric Matrix — বিশেষ ম্যাট্রিক্স

যদি কোনো matrix-এর transpose সে নিজেই হয়, মানে Aᵀ = A, তাইলে সেইটা symmetric matrix। Diagonal বরাবর আয়নার মতো — উপরে যা নিচেও তা। Covariance matrix, distance matrix — সব symmetric! ML-এ এইটা অনেক কাজে আসে কারণ symmetric matrix-এর বিশেষ properties আছে।

\[A = A^T \implies a_{ij} = a_{ji} \quad \text{(symmetric matrix)}\]

Dataset Transpose করে Feature Analysis

৩ জন ছাত্রের ২ বিষয়ের নম্বর আছে — রহিম [৮০, ৭০], করিম [৯০, ৬০], জামাল [৮৫, ৭৫]। Matrix বানাও, transpose কর, আর বল transpose-এর ২য় column কী represent করে।

Step 1: Original Matrix (ছাত্র × বিষয়)

৩ ছাত্র × ২ বিষয় = 3×2 matrix

\[A = \begin{bmatrix} 80 & 70 \\ 90 & 60 \\ 85 & 75 \end{bmatrix} \quad (3 \times 2)\]

Step 2: Transpose কর

Row গুলা column হইব, column গুলা row হইব — 2×3 হইব

\[A^T = \begin{bmatrix} 80 & 90 & 85 \\ 70 & 60 & 75 \end{bmatrix} \quad (2 \times 3)\]

Step 3: ২য় column বিশ্লেষণ

Transpose-এর ২য় column = original-এর ২য় row = করিমের সব নম্বর!

\[A^T_{:,2} = \begin{bmatrix} 90 \\ 60 \end{bmatrix} = \text{করিমের সব বিষয়ের নম্বর}\]

উত্তর:

Transpose-এ ২য় column = করিমের সব নম্বর [90, 60]! Transpose করলে ছাত্র-ভিত্তিক data বিষয়-ভিত্তিক হইয়া যায় — এখন প্রতিটা row একটা বিষয়, প্রতিটা column একটা ছাত্র!