calculusসহজ⏱ 14 মিনিট

Derivative — পরিবর্তনের হার

Derivative

🏍️

Pathao Bike-এর Speed আর ঢাকার Traffic

ধর গুরু, তুই Pathao bike-এ চড়ে মিরপুর থেইকা মতিঝিল যাইতেছস। রাস্তা ফাঁকা — bike ৬০ কিমি/ঘণ্টায় যাইতেছে। হঠাৎ ফার্মগেট signal-এ জ্যাম — speed কমে ২০ হইল। তারপর signal ছাড়ল — আবার speed বাড়তে শুরু করল ২০, ৩০, ৪০, ৫০... প্রতি মুহূর্তে speed পরিবর্তন হইতেছে। তুই ফোনে Pathao app-এ দেখতেছস — এখন ৪৫ কিমি/ঘণ্টা, ০.৫ সেকেন্ড পর ৪৭, তারপর ৪৯... ঠিক এই মুহূর্তে speed কত? এইটা বের করতে গেলেই derivative লাগে!

Derivative হইল 'ঠিক এই মুহূর্তে' পরিবর্তনের হার। Pathao bike-এর speed আসলে position-এর derivative — কত তাড়াতাড়ি জায়গা বদলাইতেছে। ML-এ gradient হইল loss function-এর derivative — কোন দিকে loss কমতেছে বা বাড়তেছে। পুরা backpropagation derivative-এর উপর দাঁড়ায়!

সংজ্ঞা

Derivative হইল কোনো function-এর instantaneous rate of change — মানে কোনো একটা point-এ function কত দ্রুত বাড়তেছে বা কমতেছে। এইটা limit দিয়া define করা হয় — দুইটা খুব কাছাকাছি point-এর মধ্যে change-এর ratio, যখন দূরত্ব শূন্যের কাছে যায়।

Derivative — limit definition (first principles)

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

ব্যাখ্যা

Derivative = ঢাল (Slope)

Graph-এ কোনো point-এ tangent line-এর slope হইল derivative। মানে curve ঐ point-এ কত খাড়া বা কত সমতল — সেইটা। Positive derivative = function বাড়তেছে (bike speed up), negative = কমতেছে (braking), zero = না বাড়ছে না কমছে (peak বা valley)।

\[\text{slope} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \xrightarrow{\Delta x \to 0} \frac{dy}{dx}\]

Power Rule — সবচেয়ে Common Rule

f(x) = xⁿ হইলে f'(x) = nxⁿ⁻¹। এইটুকু মনে রাখলে অর্ধেক derivative পারবি! x² এর derivative 2x, x³ এর derivative 3x², x⁵ এর derivative 5x⁴। Power নামাও সামনে, power থেকে 1 বাদ দাও!

\[\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\]

Common Derivatives মুখস্থ রাখ

কিছু derivative মুখস্থ রাখলে জীবন সহজ হইব: constant-এর derivative 0, e^x-এর derivative e^x নিজেই, sin(x)-এর derivative cos(x), ln(x)-এর derivative 1/x। ML-এ e^x আর ln(x) সবচেয়ে বেশি লাগে!

\[\frac{d}{dx}[e^x] = e^x, \quad \frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}\]

Chain Rule-এর Intro

যদি function-এর ভিতরে function থাকে — f(g(x)) — তাইলে বাইরেরটার derivative গুণ ভিতরেরটার derivative। f(g(x))-এর derivative = f'(g(x)) × g'(x)। যেমন (2x+3)⁵-এর derivative = 5(2x+3)⁴ × 2 = 10(2x+3)⁴। এইটা ML-এ backpropagation-এর ভিত্তি!

\[\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Pathao Bike-এর Position ও Speed

Pathao bike-এর position function: s(t) = 3t² + 2t + 5 (মিটার), t = সময় (সেকেন্ড)। t = 4 সেকেন্ডে bike-এর speed (velocity) বের কর।

Step 1: Position function-এর derivative নে

Speed = position-এর derivative। Power rule ব্যবহার কর।

\[v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}[3t^2 + 2t + 5] = 6t + 2\]

Step 2: t = 4 বসাও

t = 4 সেকেন্ডে speed কত?

\[v(4) = 6 \times 4 + 2 = 24 + 2 = 26 \text{ m/s}\]

Step 3: Acceleration-ও বের কর (bonus)

Acceleration = velocity-র derivative = position-এর second derivative।

\[a(t) = v'(t) = s''(t) = 6 \text{ m/s}^2 \text{ (constant acceleration!)}\]

উত্তর:

t = 4 সেকেন্ডে speed = ২৬ m/s, acceleration = ৬ m/s² (constant)। Bike সমান হারে speed বাড়াইতেছে — ঢাকার রাস্তায় এইরকম ফাঁকা পাইলে তো মজাই!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Derivative = Pathao bike-এর speedometer — ঠিক এই মুহূর্তে কত speed-এ যাইতেছস সেইটা। Position-এর derivative = speed, speed-এর derivative = acceleration। Power rule: power নামাও সামনে, power কমাও 1!

#derivative#differentiation#power-rule#chain-rule#backpropagation#gradient