probability-statsসহজ⏱ 10 মিনিট

Uniform Distribution — সমান সম্ভাবনা

Uniform Distribution — Equal Probability

🎲

নিউমার্কেটের লটারি আর লুডুর ছক্কার গল্প

গুরু নিউমার্কেট এলাকায় হাঁটতে হাঁটতে দেখে রাস্তার পাশে একটা লটারির দোকান। দোকানদার চিল্লাইয়া কইতেছে, 'ভাগ্য পরীক্ষা করেন, সবার সমান চান্স!' গুরু থামলো, কইলো 'মামা, এইটাই হইলো Uniform Distribution — সবার ভাগ্য সমান!' তারপর গুরু পাশের চায়ের দোকানে ঢুইকা দেখে দুইজন লুডু খেলতেছে। একজন কইতেছে, 'আমার ছক্কা আসে না!' গুরু বললো, 'ভাই, ডাইস তো fair — ১ থেইকা ৬ প্রতিটার probability ১/৬, সবার সমান! তোমার ভাগ্য খারাপ, ডাইস এর দোষ না!' রাতে বাসায় ফিরা গুরু ভাবলো — রাস্তায় random কোনো সময়ে বাস আসবে, সেই waiting time ও তো Uniform!

Uniform Distribution হইলো সবচেয়ে সহজ distribution — সব outcome এর probability সমান! Discrete version এ প্রতিটা value এর probability 1/n (যেমন ডাইস), আর Continuous version এ কোনো range [a,b] এর মধ্যে সব point সমান সম্ভাব্য। Random number generation, weight initialization — সব জায়গায় Uniform লাগে!

সংজ্ঞা

Uniform Distribution হইলো এমন একটা probability distribution যেখানে সব সম্ভাব্য outcome এর probability সমান। Discrete Uniform এ n টা value এর প্রতিটার probability 1/n। Continuous Uniform [a,b] এ যেকোনো subinterval এর probability তার দৈর্ঘ্যের সাথে proportional।

Uniform Distribution (Discrete ও Continuous)

\[\text{Discrete: } P(X=k) = \frac{1}{n} \\ \text{Continuous: } f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \le x \le b\]

ব্যাখ্যা

Discrete Uniform Distribution

যখন নির্দিষ্ট সংখ্যক outcome আছে আর সবার probability সমান। ডাইস রোল (1-6), লটারি টিকেট নম্বর, random card draw — সব Discrete Uniform। n টা outcome থাকলে প্রতিটার probability 1/n।

\[P(X=k) = \frac{1}{n}, \quad k = 1, 2, ..., n\]

Continuous Uniform Distribution

যখন কোনো continuous range [a,b] এর মধ্যে সব value সমান সম্ভাব্য। বাস আসার waiting time (0-15 min), random number generation (0-1)। PDF হইলো constant 1/(b-a)।

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]

Mean ও Variance

Continuous Uniform [a,b] এর Mean হইলো ঠিক মাঝখানে (a+b)/2, আর Variance হইলো (b-a)^2/12। Discrete Uniform {1,...,n} এর Mean = (n+1)/2।

\[E[X] = \frac{a+b}{2}, \quad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]

CDF (Cumulative Distribution Function)

Continuous Uniform এর CDF সোজা একটা straight line — a তে 0 থেইকা শুরু হয়া b তে 1 এ পৌঁছায়। P(X <= x) = (x-a)/(b-a)।

\[F(x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b\]

বাস আসার জন্য অপেক্ষা

ঢাকায় একটা বাস route এ প্রতি ২০ মিনিটে বাস আসে। তুমি random সময়ে bus stop এ আসলে, ৫ মিনিটের মধ্যে বাস পাওয়ার probability কত?

Distribution চিহ্নিত করো

Waiting time ~ Uniform(0, 20), কারণ তুমি ০ থেইকা ২০ মিনিটের মধ্যে যেকোনো সময়ে আসতে পারো।

\[X \sim \text{Uniform}(0, 20)\]

PDF বাইর করো

f(x) = 1/(20-0) = 1/20 = 0.05 — প্রতি মিনিটে সমান density।

\[f(x) = \frac{1}{20} = 0.05\]

Probability হিসাব করো

P(X <= 5) = (5-0)/(20-0) = 5/20 = 0.25

\[P(X \le 5) = \frac{5-0}{20-0} = \frac{5}{20} = 0.25\]

উত্তর:

৫ মিনিটের মধ্যে বাস পাওয়ার probability 25% বা ১/৪। মানে প্রতি ৪ বারে ১ বার তুমি ৫ মিনিটের মধ্যে বাস পাইবা!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Uniform = 'ইউনিফর্ম' — স্কুলের ইউনিফর্ম এর মতো সবাই সমান! ডাইস এর ৬ মুখ = ৬ জন ছাত্র, সবার uniform এক রকম, সবার chance সমান ১/৬! নিউমার্কেটে লটারি = সবার কপাল সমান!

#uniform-distribution#random-number-generation#weight-initialization#monte-carlo#discrete-uniform#continuous-uniform