linear-algebraসহজ⏱ 7 মিনিট

Unit Vector — একক ভেক্টর

Unit Vector

🧭

নাবিকের কম্পাসের গল্প

ধর ভাই, সদরঘাটে নাবিক মতিন ভাই launch চালায়। তারে জিজ্ঞেস করলি 'কোনদিকে যাইতেছেন?' সে বলল 'উত্তর-পূর্ব দিকে।' কত দূর যাইব সেইটা বলে নাই — শুধু দিকটা বলছে। কম্পাসের কাঁটা সবসময় একটা direction দেখায়, কিন্তু কম্পাসের কাঁটার length সবসময় same — ১ unit। কম্পাসের কাঁটা কখনো লম্বা-খাটো হয় না, তাই না?

এইটাই Unit Vector — দিক আছে কিন্তু length ঠিক ১। যেকোনো vector-কে তার norm দিয়া ভাগ করলে unit vector পাওয়া যায়। শুধু দিকটা রাখো, মান ১ করো। বুঝলা মামা?

সংজ্ঞা

Unit Vector হইল এমন vector যার magnitude (norm) ঠিক ১। যেকোনো non-zero vector-কে তার L2 norm দিয়া ভাগ করলে unit vector পাওয়া যায়। এই process-কে normalization বলে।

Unit vector v̂ — vector-কে তার norm দিয়া ভাগ

\[\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|_2}, \quad \|\hat{v}\|_2 = 1\]

ব্যাখ্যা

Unit Vector কেন দরকার?

অনেক সময় আমরা শুধু direction-টা জানতে চাই, magnitude-টা গুরুত্বপূর্ণ না। ধর দুইটা রাস্তা — একটা ৫ কিলো লম্বা উত্তরদিকে, আরেকটা ১০০ কিলো লম্বা উত্তরদিকে। দিক কিন্তু same! Unit vector দিয়া শুধু direction-টা capture করি।

\[\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 100 \end{bmatrix}, \quad \hat{a} = \hat{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Normalization Process

যেকোনো vector-কে unit vector বানাইতে ৩ step: (১) L2 norm বাইর কর, (২) প্রতিটা component-কে norm দিয়া ভাগ কর, (৩) check কর norm = ১ হইছে কিনা। এইটুকুই!

\[\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \|\vec{v}\| = 5 \Rightarrow \hat{v} = \begin{bmatrix} 3/5 \\ 4/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{bmatrix}\]

Standard Basis Vectors

সবচেয়ে basic unit vector-গুলা হইল axis-বরাবর। 2D-তে î = [1,0] (পূর্বদিক) আর ĵ = [0,1] (উত্তরদিক)। যেকোনো vector-কে এই basis unit vector-এর combination দিয়া লেখা যায়।

\[\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = 3\hat{i} + 4\hat{j}\]

মতিন ভাইয়ের Launch-এর Direction

মতিন ভাইয়ের launch পূর্বে ৬ কিলো আর উত্তরে ৮ কিলো গেছে। Launch-এর direction-এর unit vector বাইর কর।

Step 1: Vector লেখো

পূর্বে ৬, উত্তরে ৮

\[\vec{v} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}\]

Step 2: L2 Norm বাইর কর

Pythagorean theorem দিয়া magnitude বাইর কর

\[\|\vec{v}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Step 3: Norm দিয়া ভাগ কর

প্রতিটা component-কে ১০ দিয়া ভাগ কর

\[\hat{v} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{bmatrix}\]

Step 4: Verify কর

Check কর unit vector-এর norm ১ কিনা

\[\|\hat{v}\| = \sqrt{0.6^2 + 0.8^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1 \checkmark\]

উত্তর:

Unit vector হইল [0.6, 0.8] — norm ঠিক ১। মতিন ভাই ঠিক এই direction-এ launch চালাইতেছে, distance যতই হোক!

ML-এ কোথায় লাগে?

💡

মনে রাখার ট্রিক

Unit Vector = কম্পাসের কাঁটা — সবসময় length ১, শুধু direction বলে। যেকোনো vector-কে norm দিয়া ভাগ করলেই কম্পাস পাইবি!

#unit-vector#normalization#direction#basis-vector#gradient-clipping